Aviso

Olá a todos os leitores e visitantes do Matemática de Menos. Como estou trabalhando em um projeto paralelo este blog passará a ser atualizado em outro endereço:

www.cursomentor.wordpress.com

Lá vocês vão encontrar soluções comentadas de vários concursos, não só de matemática, mas de física também. Além de apostilas, listas de exercícios e muito mais.
Agradecemos cada visita aqui e esperamos continuar fazendo da melhor forma possível nosso trabalho. Espero que gostem do Curso Mentor.
Visitem-nos.

Um abraço,
Leo.

Questão #13

Um barril contém 100 litros de vinho. Retiram-se x litros de vinho e colocam-se x litros de água. Agora, retiram-se x litros da mistura e adicionam-se novamente x litros de água. Ao final a mistura fica com 36 litros de água e 64 litros de vinho. Qual o valor de x?

Solução da Questão #12
Primeiro escrevemos a equação que representa o enunciado da questão:

Agora basta arrumar os termos em função de x:

Fazendo o MMC, verificamos que há duas condições limitantes para y:

 

e

  

Além disso, x é natural portanto y deve ser tal que a divisão

seja inteira. Por observação, vemos que isto ocorre para y = 5. O total de selos de Roberto é portanto igual a 3535 selos, sendo 707 na primeira parte, 505 na segunda (cinco sétimos) e 303 na terceira.

Demonstração #2 - Soluções da Equação do 2º Grau

Durante a escola muita gente aprendeu a famigerada fórmula de Bháskara para solucionar equações do 2º grau. O que muita gente não sabe é de onde isso veio. Bom, esta é uma boa hora para descobrir.
Sejam a, b e c números reais, com a não-nulo, os coeficientes da equação abaixo:

Dividindo toda a equação por a encontramos:

Agora precisamos "completar" a equação para que ela seja vista como um quadrado perfeito de uma soma:

Feito isso, basta isolar um dos termos - o termo com x procurado - e extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

Isolando x obteremos:

Para completar, basta chamar o que tem dentro da raiz de algo mais simpático: delta. Pronto, aí está a fórmula que você conhece:

Questão #12

A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois décimos do total de selos estão no primeiro volume. Alguns sétimos do total estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem?

Solução da Questão #11:

Primeiramente precisamos representar a soma de forma genérica em função de um somatório. Por observação, chegamos a conclusão de que ela pode ser representada como:

Agora basta apenas separar as frações como soma de duas outras:

Calculando cada um dos coeficientes teremos:

Podemos agora portanto reescrever o somatório do produto como sendo o somatório de uma soma de duas frações com numeradores iguais a A e B respectivamente:

Agora escrevendo a soma em função de seus termos percebemos que haverá um cancelamento de parcelas:

Logo, com o cancelamento das parcelas, só sobrarão o primeiro e último termo do somatório:

Observação: A partir de agora, seguindo a sugestão de Giovani Ferreira, a solução das questões será postada junto com enunciado da questão seguinte. Assim, a solução da Questão #12 virá junto com o enunciado da Questão #13. Até a próxima. 

Questão #11

Encontre o valor da soma:

Demonstração #1 - Soma dos Ângulos de um Triângulo

Como podemos demonstrar que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a 180º?

Seja um triângulo qualquer ABC cujos ângulos são α, β e θ respectivamente, conforme vemos na figura abaixo. Tracemos ainda uma reta r paralela ao lado AC passando pelo vértice B. Como o lado AB é uma transversal cortando as duas paralelas, temos dois ângulos alternos internos iguais a α. Analogamente, BC é transversal às paralelas e define um  alterno θ interno.

Agora fica claro que a soma α + β + θ = 180°.

Questão #10

Seja

onde 

Então podemos afirmar que 

pode ser escrito como sendo: 

a) i cotg (t/2)
b) i tg (t/2)
c) i cotg t
d) i tg t
e) N.D.A.

Solução:

Em primeiro lugar precisamos saber escrever um número complexo como uma exponencial de base e:

A partir disso, podemos reescrever w em função desta exponencial:

Esta expressão pode ser reescrita como:

Usando a primeira definição de exponencial complexa temos:

Substituindo o resultado anterior na expressão de w:

Questão #9

Leonardo, ao sair do trabalho, sempre chega na rodoviária de sua cidade às 17 horas e sua esposa o apanha para levá-lo para casa. Certa vez, ele chegou às 16 horas e decidiu ir andando para casa. No meio do caminho encontrou-se com sua esposa que o levou de carro, fazendo com que ele chegasse em casa 10 minutos antes do habitual. Quanto tempo Leonardo caminhou até encontrar com sua esposa?

Solução 1:
A primeira solução - e talvez a mais rápida - é pensar de forma lógica:
Se Leonardo chegou em casa 10 minutos antes do habitual, significa que sua esposa "economizou" 10 minutos de viagem. Já que podemos supor que a velocidade dela é constante, a mesma economizou 5 minutos para ir até a rodoviária e 5 minutos para voltar para casa. Assim, se ela chegou até o marido 5 minutos antes e ela costumava chegar até ele às 17, significa que ela encontrou-o às 16:55, economizando 5 minutos na viagem de ida. Como Leonardo chegou às 16 na rodoviária caminhou 55 minutos.

Solução 2:
Não sabemos quanto tempo Leonardo leva para chegar em casa, indo de carro a partir da rodoviária, portanto, vamos supor como sendo t, o intervalo de tempo entre a chegada na rodoviária e a chegada em casa. A partir disso, já sabemos que a esposa sai de casa t minutos antes das 17 horas.
Para facilitar as contas, vamos definir 16 horas como sendo 0 minutos, assim 17 horas será o marco de 60 minutos. Então:
1) Em uma situação normal Leonardo chegaria em casa aos

2) No dia em questão, Leonardo chegou em casa dez minutos antes, ou seja, aos

3) A esposa dele saiu de casa no horário habitual, ou seja, aos

4) O tempo que esposa andou de carro até encontrá-lo, será a diferença entre o horário que Leonardo chegou em casa e a hora que a esposa saiu de casa:

5) Como a esposa gasta metade do tempo para ir e metade para voltar, ela gastou na ida, até encontrar Leonardo, a metade do tempo anterior:

6) Portanto, Leonardo caminhou durante o tempo decorrido de 0 minutos ate sua esposa sair de casa somado ao tempo que ela gastou na ida até encontrá-lo:

Seguindo a solução 2 e dando nomes às variáveis podemos chegar a uma solução mais genérica:

Embora o problema seja simples, a elaboração da solução é sofisticada.

Questão #8

Xisipsilonzê é um jogo de três jogadores. Em cada partida o vencedor marca a pontos, o segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca c pontos, onde

são inteiros positivos. Certo dia, Marcos, Flavio e Ralph resolveram jogar Xisipsilonzê e, após algumas partidas, a soma dos pontos foi:

Marcos — 20

Flavio — 10

Ralph — 9

Sabe-se que Flavio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos cada um marcou em cada partida disputada.

Solução:

Não sabemos ao certo quantas partidas foram disputadas, mas sabemos que tanto o número de partidas quanto a soma das pontuações é ímpar, uma vez que o total de pontos obtidos pelos três jogadores é ímpar.

Assim, sendo n o número de partidas jogadas, temos que:

Sabemos a partir disso que a soma das pontuações em cada partida deve ser um número divisor de 39, pois n é inteiro:

Por exclusão, não podemos ter a soma igual a 1 ou igual a 3, pois todos os números são inteiros positivos. Ainda por exclusão, não podemos ter a soma igual a 39, pois assim só teria havido uma única partida e Flavio não poderia ter ganhado a segunda, o que sabemos de acordo com o enunciado.

Portanto o número de partidas jogadas foi 3.

Assim, basta agora bucarmos três números de soma 13, com algumas restrições:

Como Flavio ganhou a segunda partida e fez 10 pontos, o valor mínimo que podemos atribuir a c é igual a 1 e o valor máximo que podemos atribuir para a é igual a 8.

Além disso o valor mínimo para a é igual a 6, pois a soma total é 13.

Usando esta observação temos as seguintes possibilidades de pontuação:

Passemos então à  análise de cada uma:

— Note que a opção 5) está fora de cogitação, pois mesmo que o ganhador vencesse as três partidas não chegaria a 20 pontos.

— A opção 4) também está fora, pois Ralph ganhou a 2ª partida e mesmo que ficasse em 3º nas outras duas faria 11 pontos;

— As opções 3) e 2) estão fora porque não há maneira em ambas de Ralph fazer 10 pontos, uma vez que ele ganhou a 2ª partida.

Portanto, só a opção 1) está correta de acordo com os seguintes resultados em cada partida:

Jogador	P1	P2	P3	Total
Marcos	8	4	8	20
Flavio	1	8	1	10
Ralph	4	1	4	9

Questão #7

Seja a sequência de passagens abaixo. Embora as operações sejam feitas de ambos os lados verifica-se um erro na resposta final. Em que linha se encontra esse erro?

E então onde está o erro?

Solução: O erro se encontra na linha 3, pois para retirar as raízes de ambos os lados da equação devemos escrever da seguinte forma:

Que é o correto. Você pode ver outro problema relacionado aqui.

Questão #6

Sabemos que existem infinitos números reais. Mas este total é par ou é ímpar?

Solução: Uma vez que, para cada número real, temos o seu simétrico em relação à origem, podemos pensar que o total de números reais é ímpar, pois o zero é o único que não possui simétrico.

Problema proposto por Maurício de Paula.

Análise Combinatória

Teorema Fundamental da Contagem 

Para ilustrar tal princípio vamos analisar algumas situações: 

Situação 1: 

Em um bar são vendidos apenas sanduíches de queijo, presunto e mortadela com pão de forma ou de batata. Uma pessoa que deseja consumir um desses sanduíches, de quantas opções diferentes dispõe?

Vamos esquematizar a solução desse problema de acordo com a figura a seguir:

Notamos claramente que para cada tipo de pão temos três tipos de recheio. Assim, por observação, vemos que o total de casos possíveis será dado pela multiplicação entre o total de escolhas para o tipo de pão e o total de escolhas para o recheio utilizado.

Portanto, temos 6 possibilidades de sanduíche.

Situação 2:

Em uma corrida em que correm três carros, quais são as possibilidades para a ordem de chegada?

Mais uma vez vamos esquematizar a situação através de uma figura:

Notamos que para a escolha do primeiro lugar temos 3 possibilidades e - para cada uma destas - temos apenas 2 para o segundo e logicamente 1 para o terceiro. Novamente o total de possibilidades pode ser obtido multiplicando-se o total de opções para cada lugar na chegada.

A partir da observação dos exemplos anteriores podemos escrever:

"Se um experimento A pode ocorrer de k maneiras distintas e outro experimento B, independente de A, pode ocorrer de p maneiras distintas, o número n de maneiras de ocorrer o par AB é dado por n = kp."

Fatorial de um número n

"Dado um número n inteiro maior do que 1 definimos como o fatorial de n, representado por n! o produto de todos os naturais de n até 1."

Por definição temos ainda que:

Permutações Simples

"Uma permutação simples dos n elementos distintos de um conjunto é todo agrupamento ordenado desses n elementos, onde cada um deles aparece uma única vez."

Assim, temos que a permutação de n elementos pode ser calculada por:

Exemplo: De quantas formas 5 pessoas podem se sentar em um banco de 5 lugares?

Combinações Simples

"Uma combinação simples dos n elementos distintos de um conjunto tomados em grupos de p elementos, em que p é menor ou igual a n, é todo agrupamento não ordenado desses p elementos."

Assim, temos que a combinação de n elementos em grupos de p elementos pode ser calculada por:

Exemplo: Um campeonato de futebol é composto por 5 times. Quantos jogos serão realizados, sabendo que cada time só enfrenta cada um dos adversários uma única vez?

Arranjos Simples

"Um arranjo simples dos n elementos distintos de um conjunto tomados em grupos de p elementos, em que p é menor ou igual a n, é todo agrupamento ordenado desses p elementos."

Assim, temos que a combinação de n elementos em grupos de p elementos pode ser calculada por:

Exemplo: Quantos são os números de dois algarismos formados pelos algarismos de 1 a 9?

Como o total é de 9 algarismos e queremos agrupamentos ordenados de 2 algarismos teremos: 

Permutações com Repetição

O número de permutações de n elementos onde a aparece k vezes, b aparece p vezes, etc. é dado por:

Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA?

O total de letras é de 10. Porém percebemos que "A" aparece 3 vezes, "T" aparece 2 vezes e "M" aparece 2 vezes. Assim podemos calcular o numero de anagramas como sendo: 

Permutações Circulares

O número de permutações de n elementos dispostos de forma circular é dado por:

Exemplo: De quantas formas distintas 3 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa circular?

Como as pessoas estão dispostas em um círculo temos que o total de possibilidades será dado por: