Questão #8

Xisipsilonzê é um jogo de três jogadores. Em cada partida o vencedor marca a pontos, o segundo colocado marca b pontos e o terceiro colocado marca c pontos, onde

são inteiros positivos. Certo dia, Marcos, Flavio e Ralph resolveram jogar Xisipsilonzê e, após algumas partidas, a soma dos pontos foi:

Marcos — 20

Flavio — 10

Ralph — 9

Sabe-se que Flavio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos cada um marcou em cada partida disputada.

Solução:

Não sabemos ao certo quantas partidas foram disputadas, mas sabemos que tanto o número de partidas quanto a soma das pontuações é ímpar, uma vez que o total de pontos obtidos pelos três jogadores é ímpar.

Assim, sendo n o número de partidas jogadas, temos que:

Sabemos a partir disso que a soma das pontuações em cada partida deve ser um número divisor de 39, pois n é inteiro:

Por exclusão, não podemos ter a soma igual a 1 ou igual a 3, pois todos os números são inteiros positivos. Ainda por exclusão, não podemos ter a soma igual a 39, pois assim só teria havido uma única partida e Flavio não poderia ter ganhado a segunda, o que sabemos de acordo com o enunciado.

Portanto o número de partidas jogadas foi 3.

Assim, basta agora bucarmos três números de soma 13, com algumas restrições:

Como Flavio ganhou a segunda partida e fez 10 pontos, o valor mínimo que podemos atribuir a c é igual a 1 e o valor máximo que podemos atribuir para a é igual a 8.

Além disso o valor mínimo para a é igual a 6, pois a soma total é 13.

Usando esta observação temos as seguintes possibilidades de pontuação:

Passemos então à  análise de cada uma:

— Note que a opção 5) está fora de cogitação, pois mesmo que o ganhador vencesse as três partidas não chegaria a 20 pontos.

— A opção 4) também está fora, pois Ralph ganhou a 2ª partida e mesmo que ficasse em 3º nas outras duas faria 11 pontos;

— As opções 3) e 2) estão fora porque não há maneira em ambas de Ralph fazer 10 pontos, uma vez que ele ganhou a 2ª partida.

Portanto, só a opção 1) está correta de acordo com os seguintes resultados em cada partida:

Jogador	P1	P2	P3	Total
Marcos	8	4	8	20
Flavio	1	8	1	10
Ralph	4	1	4	9