Questão #13

Um barril contém 100 litros de vinho. Retiram-se x litros de vinho e colocam-se x litros de água. Agora, retiram-se x litros da mistura e adicionam-se novamente x litros de água. Ao final a mistura fica com 36 litros de água e 64 litros de vinho. Qual o valor de x?

Solução da Questão #12
Primeiro escrevemos a equação que representa o enunciado da questão:

Agora basta arrumar os termos em função de x:

Fazendo o MMC, verificamos que há duas condições limitantes para y:

 

e

  

Além disso, x é natural portanto y deve ser tal que a divisão

seja inteira. Por observação, vemos que isto ocorre para y = 5. O total de selos de Roberto é portanto igual a 3535 selos, sendo 707 na primeira parte, 505 na segunda (cinco sétimos) e 303 na terceira.

Demonstração #2 - Soluções da Equação do 2º Grau

Durante a escola muita gente aprendeu a famigerada fórmula de Bháskara para solucionar equações do 2º grau. O que muita gente não sabe é de onde isso veio. Bom, esta é uma boa hora para descobrir.
Sejam a, b e c números reais, com a não-nulo, os coeficientes da equação abaixo:

Dividindo toda a equação por a encontramos:

Agora precisamos "completar" a equação para que ela seja vista como um quadrado perfeito de uma soma:

Feito isso, basta isolar um dos termos - o termo com x procurado - e extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

Isolando x obteremos:

Para completar, basta chamar o que tem dentro da raiz de algo mais simpático: delta. Pronto, aí está a fórmula que você conhece:

Questão #12

A coleção de selos de Roberto está dividida em três volumes. Dois décimos do total de selos estão no primeiro volume. Alguns sétimos do total estão no segundo volume e 303 selos estão no terceiro volume. Quantos selos Roberto tem?

Solução da Questão #11:

Primeiramente precisamos representar a soma de forma genérica em função de um somatório. Por observação, chegamos a conclusão de que ela pode ser representada como:

Agora basta apenas separar as frações como soma de duas outras:

Calculando cada um dos coeficientes teremos:

Podemos agora portanto reescrever o somatório do produto como sendo o somatório de uma soma de duas frações com numeradores iguais a A e B respectivamente:

Agora escrevendo a soma em função de seus termos percebemos que haverá um cancelamento de parcelas:

Logo, com o cancelamento das parcelas, só sobrarão o primeiro e último termo do somatório:

Observação: A partir de agora, seguindo a sugestão de Giovani Ferreira, a solução das questões será postada junto com enunciado da questão seguinte. Assim, a solução da Questão #12 virá junto com o enunciado da Questão #13. Até a próxima.