Análise Combinatória

Teorema Fundamental da Contagem 

Para ilustrar tal princípio vamos analisar algumas situações: 

Situação 1: 

Em um bar são vendidos apenas sanduíches de queijo, presunto e mortadela com pão de forma ou de batata. Uma pessoa que deseja consumir um desses sanduíches, de quantas opções diferentes dispõe?

Vamos esquematizar a solução desse problema de acordo com a figura a seguir:

Notamos claramente que para cada tipo de pão temos três tipos de recheio. Assim, por observação, vemos que o total de casos possíveis será dado pela multiplicação entre o total de escolhas para o tipo de pão e o total de escolhas para o recheio utilizado.

Portanto, temos 6 possibilidades de sanduíche.

Situação 2:

Em uma corrida em que correm três carros, quais são as possibilidades para a ordem de chegada?

Mais uma vez vamos esquematizar a situação através de uma figura:

Notamos que para a escolha do primeiro lugar temos 3 possibilidades e - para cada uma destas - temos apenas 2 para o segundo e logicamente 1 para o terceiro. Novamente o total de possibilidades pode ser obtido multiplicando-se o total de opções para cada lugar na chegada.

A partir da observação dos exemplos anteriores podemos escrever:

"Se um experimento A pode ocorrer de k maneiras distintas e outro experimento B, independente de A, pode ocorrer de p maneiras distintas, o número n de maneiras de ocorrer o par AB é dado por n = kp."

Fatorial de um número n

"Dado um número n inteiro maior do que 1 definimos como o fatorial de n, representado por n! o produto de todos os naturais de n até 1."

Por definição temos ainda que:

Permutações Simples

"Uma permutação simples dos n elementos distintos de um conjunto é todo agrupamento ordenado desses n elementos, onde cada um deles aparece uma única vez."

Assim, temos que a permutação de n elementos pode ser calculada por:

Exemplo: De quantas formas 5 pessoas podem se sentar em um banco de 5 lugares?

Combinações Simples

"Uma combinação simples dos n elementos distintos de um conjunto tomados em grupos de p elementos, em que p é menor ou igual a n, é todo agrupamento não ordenado desses p elementos."

Assim, temos que a combinação de n elementos em grupos de p elementos pode ser calculada por:

Exemplo: Um campeonato de futebol é composto por 5 times. Quantos jogos serão realizados, sabendo que cada time só enfrenta cada um dos adversários uma única vez?

Arranjos Simples

"Um arranjo simples dos n elementos distintos de um conjunto tomados em grupos de p elementos, em que p é menor ou igual a n, é todo agrupamento ordenado desses p elementos."

Assim, temos que a combinação de n elementos em grupos de p elementos pode ser calculada por:

Exemplo: Quantos são os números de dois algarismos formados pelos algarismos de 1 a 9?

Como o total é de 9 algarismos e queremos agrupamentos ordenados de 2 algarismos teremos: 

Permutações com Repetição

O número de permutações de n elementos onde a aparece k vezes, b aparece p vezes, etc. é dado por:

Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA?

O total de letras é de 10. Porém percebemos que "A" aparece 3 vezes, "T" aparece 2 vezes e "M" aparece 2 vezes. Assim podemos calcular o numero de anagramas como sendo: 

Permutações Circulares

O número de permutações de n elementos dispostos de forma circular é dado por:

Exemplo: De quantas formas distintas 3 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa circular?

Como as pessoas estão dispostas em um círculo temos que o total de possibilidades será dado por: