Questão #7

Seja a sequência de passagens abaixo. Embora as operações sejam feitas de ambos os lados verifica-se um erro na resposta final. Em que linha se encontra esse erro?

E então onde está o erro?

Solução: O erro se encontra na linha 3, pois para retirar as raízes de ambos os lados da equação devemos escrever da seguinte forma:

Que é o correto. Você pode ver outro problema relacionado aqui.

Questão #6

Sabemos que existem infinitos números reais. Mas este total é par ou é ímpar?

Solução: Uma vez que, para cada número real, temos o seu simétrico em relação à origem, podemos pensar que o total de números reais é ímpar, pois o zero é o único que não possui simétrico.

Problema proposto por Maurício de Paula.

Análise Combinatória

Teorema Fundamental da Contagem 

Para ilustrar tal princípio vamos analisar algumas situações: 

Situação 1: 

Em um bar são vendidos apenas sanduíches de queijo, presunto e mortadela com pão de forma ou de batata. Uma pessoa que deseja consumir um desses sanduíches, de quantas opções diferentes dispõe?

Vamos esquematizar a solução desse problema de acordo com a figura a seguir:

Notamos claramente que para cada tipo de pão temos três tipos de recheio. Assim, por observação, vemos que o total de casos possíveis será dado pela multiplicação entre o total de escolhas para o tipo de pão e o total de escolhas para o recheio utilizado.

Portanto, temos 6 possibilidades de sanduíche.

Situação 2:

Em uma corrida em que correm três carros, quais são as possibilidades para a ordem de chegada?

Mais uma vez vamos esquematizar a situação através de uma figura:

Notamos que para a escolha do primeiro lugar temos 3 possibilidades e - para cada uma destas - temos apenas 2 para o segundo e logicamente 1 para o terceiro. Novamente o total de possibilidades pode ser obtido multiplicando-se o total de opções para cada lugar na chegada.

A partir da observação dos exemplos anteriores podemos escrever:

"Se um experimento A pode ocorrer de k maneiras distintas e outro experimento B, independente de A, pode ocorrer de p maneiras distintas, o número n de maneiras de ocorrer o par AB é dado por n = kp."

Fatorial de um número n

"Dado um número n inteiro maior do que 1 definimos como o fatorial de n, representado por n! o produto de todos os naturais de n até 1."

Por definição temos ainda que:

Permutações Simples

"Uma permutação simples dos n elementos distintos de um conjunto é todo agrupamento ordenado desses n elementos, onde cada um deles aparece uma única vez."

Assim, temos que a permutação de n elementos pode ser calculada por:

Exemplo: De quantas formas 5 pessoas podem se sentar em um banco de 5 lugares?

Combinações Simples

"Uma combinação simples dos n elementos distintos de um conjunto tomados em grupos de p elementos, em que p é menor ou igual a n, é todo agrupamento não ordenado desses p elementos."

Assim, temos que a combinação de n elementos em grupos de p elementos pode ser calculada por:

Exemplo: Um campeonato de futebol é composto por 5 times. Quantos jogos serão realizados, sabendo que cada time só enfrenta cada um dos adversários uma única vez?

Arranjos Simples

"Um arranjo simples dos n elementos distintos de um conjunto tomados em grupos de p elementos, em que p é menor ou igual a n, é todo agrupamento ordenado desses p elementos."

Assim, temos que a combinação de n elementos em grupos de p elementos pode ser calculada por:

Exemplo: Quantos são os números de dois algarismos formados pelos algarismos de 1 a 9?

Como o total é de 9 algarismos e queremos agrupamentos ordenados de 2 algarismos teremos: 

Permutações com Repetição

O número de permutações de n elementos onde a aparece k vezes, b aparece p vezes, etc. é dado por:

Exemplo: Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA?

O total de letras é de 10. Porém percebemos que "A" aparece 3 vezes, "T" aparece 2 vezes e "M" aparece 2 vezes. Assim podemos calcular o numero de anagramas como sendo: 

Permutações Circulares

O número de permutações de n elementos dispostos de forma circular é dado por:

Exemplo: De quantas formas distintas 3 pessoas podem se sentar em volta de uma mesa circular?

Como as pessoas estão dispostas em um círculo temos que o total de possibilidades será dado por:

Questão #5

Dentre as sentenças abaixo, quais são verdadeiras e quais são falsas?

Solução:

Todas as sentenças estão incorretas. Vejamos cada uma delas em separado:

A primeira sentença é incorreta por causa da definição que se segue. É justamente graças a esta definição que as coisas se mantém coerentes na matemática. Veja:

Pela definição anterior, não teremos um valor negativo uma vez que o módulo - ou valor absoluto - é sempre positivo. Note que o mesmo vale para a afirmação iii.

Vamos analisar agora somente a segunda proposição. Embora  a resposta seja correta, ela foi obtida de forma incorreta, pois a segunda igualdade nem sempre é válida. Para demonstrar tal fato, basta pegarmos um contra-exemplo que demonstra isso:

Note que temos uma contradição que só acontece porque admitimos que a segunda linha é verdade. Assim para que fosse admitida como correta, precisaríamos demonstrar que a sentença é válida para os números complexos.

Questão #4

Na sequência de operações realizada abaixo, todas as operações são feitas de ambos os lados da equação. Porém, como se pode notar no resultado final, ocorre um erro ao longo deste percurso. Em que linha se encontra este equívoco pela primeira vez?

Solução: O erro está na Linha 2, uma vez que não se pode dividir por zero e temos que a é igual a b. 

Questão #3

Três números, cuja soma é 126, estão em progressão aritmética e outros três em progressão geométrica. Somando os termos correspondentes das duas progressões obtém-se 85, 76 e 84 respectivamente. Encontre os termos destas progressões.

Solução: Como sabemos que a P.A. é de três termos e sabemos também o valor da soma dos termos, então podemos generalizar usando o artifício abaixo:

Já que a P.G. é também de três termos usaremos um artifício semelhante para generalizar:

Agora usaremos as somas dos termos correspondentes:

Utilizando agora a segunda equação do sistema acima temos:

Agora precisamos estudar as duas soluções e encontrar os respectivos valores para r:

E assim encontramos as duas sequências procuradas.

Questão #2

Dada a equação abaixo:

(A) Determine os valores de m, para que esta equação corresponda a uma circunferência.

(B) Determine o lugar geométrico dos centros destas circunferências.

Solução: 
(A) Primeiro precisamos completar os quadrados do lado esquerdo da equação, assim podemos identificar os pontos que correspondem ao lugar geométrico dos centros das circunferências:

Agora, para que a equação acima, corresponda a uma circunferência qualquer, temos que o lado esquerdo tem que corresponder ao raio, portanto a expressão quadrática deve ser maior do que zero, pois nas raízes teremos apenas dois pontos.

(B) Para encontrar o lugar geométrico dos centros das circunferências temos que "parametrizar" as coordenadas do ponto:

Escrevendo uma equação em função da outra teremos que o lugar geométrico dos centros é dado por uma reta que corresponde a uma função do 1º grau com domínio especificado pelo conjunto S da letra (A):

  

Questão #1

Resolva o seguinte sistema:

Solução:
Embora pareça um problema de sistemas de equações bem simples em que a mera substituição resolveria o problema, vemos que não é tão simples assim. Então, em um primeiro estágio, tomemos a primeira equação para tentar utilizar algum artifício matemático para simplificar o problema:

Temos agora outro problema em mãos: uma equação polinomial do 3º grau. Por observação, percebe-se que 1 é raiz desta equação, portanto basta fatorarmos e teremos as três raízes, das quais uma já é conhecida:

Agora que já conhecemos as três raízes que são os valores de w. Temos que voltar ao sistema original e testar cada uma destas possibilidades:

Vemos então que o problema exige conhecimento de mais de um assunto. Além disso, é preciso interpretar bem cada uma das soluções para verificar que algumas não servem.